浙江2011高考数学题 4x²+y²+xy=1 则2x+y的最大值
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先整形

4x²+y²+xy = (2x+1/4 *y)² +15/16 * y²

再换元

令

u = 2x + 1/4 *y

v = √15 /4 *y

2x+y = 2x+ 1/4*y + 3/4 *y = u + 3/4 * 4/√15 * v= u + √(3/5) *v

即在UoV坐标系求 圆 C: u² + v² = 1上的动点 (m, n), m + √(3/5) *n 的最大值

所以点 (m, n)

是下面方程组的解

u + √(3/5) *v = k

u² + v² = 1

k为所求最大值

代入v

u² + v² =u² + ((k-u)/√(3/5))²

= u² +5/3 *(k² -2ku+ u²)

=1

所以

8/3 u² -10/3 ku + 5/3 k² -1 =0

最大值u只有一个解,直线u + √(3/5) *v = k,跟圆相切

delta = （10/3 k）² -4 *8/3 *(5/3 k² -1) =0

再化简

5 k² = 8

k = +/- 2√10 / 5

舍去负值

k = 2√10 / 5

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