解题思路：1、过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易证：△DPH∽△PEB⇒[DH/PH＝
PB
EB]，即[4/x−2
＝
8−x
y]，故可求得y与x的关系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出[a/8−x]=[x−2/y]，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2
5．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：当AP=AD时，即x=2
5．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+（x-2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2
5、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴[DH/PH＝
PB
EB]，
∴[4/x−2＝
8−x
y]．
整理得：y=[1/4]（x-2）（8-x）=-[1/4]x2+[5/2]x-4．
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴[a/8−x]=[x−2/y]，
∴y=
(8−x)(x−2)
a，
当y=a时，
（8-x）（x-2）=a2
x2-10x+（16+a2）=0，
∴△=100-4（16+a2），
∵△≥0，
∴100-64-4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．
点评：
本题考点： 梯形；根的判别式；由实际问题抽象出一元二次方程；三角形的稳定性；等腰三角形的判定；勾股定理；多边形的对角线；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题利用了梯形和矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式求解．
1年前
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