如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M =∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E．
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证明：（1）过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,
∵M是正方形ABCD的对称中心,
∴M是正方形ABCD对角线的交点,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG
在正方形ABCD中,∠A=90°,
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°,
在正方形QMNP,∠EMF=90°,
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE．
∴△MHF≌△MGE,
∴MF=ME．（3分）
（2）ME=MF．证明：过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,
∵M是菱形ABCD的对称中心,
∴M是菱形ABCD对角线的交点,∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
∵BC∥AD,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠M=∠B,
∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°,在四边形HMGA中,∠HMG+∠BAD=180°,
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE,
∴△MHF≌△MGE,
∴ME=MF．（6分）
（3）ME=mMF．证明：过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∴∠EMF=∠B=90°,
又∵∠MGA=∠MGE=90°,在四边形GMHA中,
∴∠GMH=90°,
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF,
∴∠HMF=∠GME,
∵∠MGE=∠MHF,
∴△MGE∽△MHF,
∴ME/MF =MG/MH
,
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴ME∥BC,
∴ME=12BC
同理可得MH=1 /2CD
∵AB=mBC,
∴ME=mMF．（9分）
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBC,M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AD于F,AB交QM于E．则MF=mME
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