设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解a(x),b(x),C为任意常数,该方程的通解?

设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解a(x),b(x),C为任意常数,该方程的通解?

答案应该是a(x)+C[a(x)-b(x)],为什么说a(x)-b(x)是对应齐次微分方程y'+P(x)y=0的不恒为零的通解?答案又是怎样出来的?

此题为06年考研数三第10题

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1个回答

很简单,由于[a(x)]'+P(x)*a(x)=Q(x)①

[b(x)]'+P(x)*b(x)=Q(x)②

①-②得[a(x)-b(x)]'+P(x)*[a(x)-b(x)]=0

即a(x)-b(x)是齐次方程y'+P(x)y=0的一个特解,所以C[a(x)-b(x)]为齐次的通解.

齐次通解+非齐次特解=非齐次的通解.

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