求证：lnx+1x−12(x−1)2≥1+23(1−x)3．
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解题思路：设
f(x)＝lnx+
1
x
−
1
2
(x−1
)
2
−[1+
2
3
(1−x
)
3
](x＞0)
，求出它的导数f'（x），根据导数的符号判断函数的单调性，进而求得函数的最小值，从而证得不等式成立．
证明：设 f(x)＝lnx+
1
x−
1
2(x−1)2−[1+
2
3(1−x)3](x＞0)，
则：f′(x)＝
1
x−
1
x2−(x−1)+2(1−x)2＝(x−1)3•
2x+1
x2，
令f'（x）=0解得：x＝1或x＝−
1
2(舍)，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 减函数 极小值 增函数∴当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0，也是唯一极小值，
∴f（x）的最小值为f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+
1
x−
1
2(x−1)2≥1+
2
3(1−x)3．
点评：
本题考点： 不等式的证明．
考点点评： 本题考查利用函数的最小值证明不等式的方法，函数的导数与函数的单调性的关系，求出f（x）的最小值是解题的关键．
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