已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．
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解题思路：（I）由题设条件，可求出函数的导数，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；
（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．
（I）因为f（x）=lnx+ax-a2x2其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)＝
1
x−2a2x+a＝
−2a2x2+ax+1
x＝
−(2ax+1)(ax−1)
x
∵x=1是函数y=f（x）的极值点
∴f′（1）=0
∴1+a-2a2=0
∴a＝−
1
2或a=1
经检验，a＝−
1
2或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点
（II）f′(x)＝
1
x−2a2x+a＝
−2a2x2+ax+1
x＝
−(2ax+1)(ax−1)
x
若a＝0，f′(x)＝
1
x＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令f′(x)＝
−(2ax+1)(ax−1)
x＝0，∴x1＝−
1
2a，x2＝
1
a
当a＞0时，函数在区间(0，
1
a)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(
1
a，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，
1
a)，函数的单调递减区间为(
1
a，+∞)
当a＜0时，函数在区间(0，−
1
2a)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(−
1
2a，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，−
1
2a)，函数的单调递减区间为(−
1
2a，+∞)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导．
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