已知R(A1,A2,A3)=2,R(A2,A3,A4)=3 证明:A1能由A2,A3线性表示;A4不能由A1,A2,A3
2个回答

R(A1,A2,A3)=2

说明这个向量组不是满秩 则线性相关

则存在不全为0的数k1,k2,k3

k1A1+k2A2+k3A3=0 .(1)

若k1=0

则 k2A2+k3A3=0

说明k2,k3线性相关 而这与R(A2,A3,A4)=3矛盾

所以k1≠0

由1式可知A1能由A2,A3线性表示

反证法证明A4不能由A1,A2,A3线性表示

若A4能由A1,A2,A3线性表示

则存在一组不全为0的数k1,k2,k3

使A4=k1A1+k2A2+k3A3

由第一步的证明:A1能由A2,A3线性表示

设A1=b2A2+b3A3 b1 ,b2 不全为0

则:k1b2A2+k1b3A3+k2A2+k3A3=A4.(2)

因为k1 k2 b1 b2不全为0

由2这说明A2 A3 A4线性相关,则必不满秩

这与R(A2,A3,A4)=3矛盾

所以A4不能由A1,A2,A3线性表示