证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO=1/2AC BO=DO=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）
∵E、F分别是OB、OD的中点
∴OE=1/2OB OF=1/2OD
∴OE=OF=1/4BD
∵BD=2AC
∴OE=OF=1/2AC=AO=CO
∴四边形AECF平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
OE+OF=AO+CO
即AC=EF
∴四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
证明：连结AC
∵∠B=∠D=90°AB=CD AC共用
∴Rt△ABC≌RtCDA（HL）
∴∠BAC=∠DCA（全等三角形对应角相等）
∴AB‖CD（内错角相等,两直线平行）
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵∠B=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
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