解题思路：（1）m=1时，f（x）=
2x
x
2
+1
，故
f
′
(x)＝
2−2
x
2
(
x
2
+1
)
2
，由此能求出曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
（2）
f
′
(x)＝
2m(
x
2
+1)−2x(2mx−
m
2
+1)
(
x
2
+1
)
2
=
−2(mx+1)(x−m)
(
m
2
+1
)
2
，由此利用m的符号进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间与极值．
（1）m=1时，f（x）=[2x
x2+1，
∴f′(x)＝
2−2x2
(x2+1)2，
∴k=f′(2)＝−
6/25]，
∵f（2）=[4/5]，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：
y-[4/5]=-[6/25]（x-2），
整理，得6x+25y-32=0．
（2）f′(x)＝
2m(x2+1)−2x(2mx−m2+1)
(x2+1)2
=
−2(mx+1)(x−m)
(m2+1)2，
当m=0时，f′(x)＝
−2x
(x2+1)2＞0，
∴x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，在[0，+∞）上为减函数，
∴f（x）极大值为f（0）=1，无极小值．
当m＞0时，f′(x)＝
−2(mx+1)(x−m)
(x2+1)2＞0，
∴-[1/m]＜x＜m，
∴f（x）在（-[1/m]，m）上为增函数，在（-∞，-[1/m]），（m，+∞）上为减函数，
∴f（x）极大值为f（m）=1，f（x）极小值为f（-[1/m]）=-m2．
当m＜0时，f′(x)＝
−2(mx+1)(x−m)
(x2+1)2＞0，
∴x＜m或x＞-[1/m]，
∴f（x）在（m，-[1/m]）上为减函数，在（-∞，m），（-[1/m]，+∞）上为增函数，
∴f（x）极大值为f（m）=1，f（x）极小值为f（-
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查切线方程的求法，考查函数f（x）的单调区间与极值．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．
