如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD交BE于F,G为BC中点,AD=BC,连接FG. 求证DF+GF=0.5
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∵∠AFE＝∠BFD、∠AEF＝∠BDF＝90°,∴∠CAD＝∠FBD（等角的余角相等）.
∵∠CAD＝∠FBD、∠ADC＝∠BDF＝90°,∴△ACD∽△BFD,∴CD/DF＝AD/BD,
∴CD×BD＝AD×DF,又AD＝BC,∴CD×BD＝BC×DF,
∴（CG－DG）（BG＋DG）＝BC×DF,而BG＝CG、BC＝2CG,
∴（CG－DG）（CG＋DG）＝2CG×DF,∴CG^2－DG^2＝2CG×DF.······①
在Rt△DFG中,由勾股定理,有：DG^2＝FG^2－DF^2.······②
将②代入到①中,得：CG^2－（FG^2－DF^2）＝2CG×DF,
∴CG^2－2CG×DF＋DF^2＝FG^2,∴（CG－DF）^2＝FG^2.······③
∵DF⊥CD、EF⊥CE,∴C、E、F、D共圆.
很明显,∠DCE是锐角,∴∠DFE是钝角,∴∠EFG是钝角,∴EG＞FG＞DF.
∵BE⊥CE、G是BC的中点,∴EG＝（1/2）BC＝CG,∴CG＞DF,∴由③,得：
CG－DF＝FG,∴DF＋FG＝CG＝（1/2）BC.
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