正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是棱AA 1 ，BB 1 的中点．
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证明：（1）如图，
连结AC，AD 1，CD 1，A 1C 1，A 1B，C 1B．
∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，∴AA 1∥ CC 1，AA 1=CC 1，
∴四边形AA 1C 1C为平行四边形，∴A 1C 1∥ AC．
A 1C 1⊄平面ACD 1，AC⊂平面ACD 1，∴A 1C 1∥ 平面ACD 1；
∵A 1D 1∥ BC，A 1D 1=BC，∴四边形A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ∥ CD 1．
A 1B⊄平面ACD 1，CD 1⊂平面ACD 1，∴A 1B ∥ ⊄平面ACD 1，
又A 1B∩A 1C 1=A 1，
∴平面A 1BC 1∥ 平面ACD 1；
（2）连结C 1F，∵E，F分别是棱AA 1，BB 1的中点，∴EF ∥ C 1D 1，EF=C 1D 1
∴EFC 1D 1是平行四边形，∴D 1F ∥ C 1E．
设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，解直角三角形求得 A 1 C 1 =2
2 ， A 1 F= C 1 F=
5 ．
在△A 1C 1F中，由余弦定理得 cos∠ A 1 F C 1 =
A 1 F 2 + C 1 F 2 - A 1 C 1 2
2 A 1 F• C 1 F =
(
5 ) 2 +(
5 ) 2 -(2
2 ) 2
2×
5 ×
5 =
1
5 ．
∴异面直线A 1F与D 1E所成的角的余弦值是
1
5 ．
1年前
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