已知正三角形ABC内有一点P,且PA=1,PB=√2,PC=√3,求正三角形ABC的面积.
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此题有两种解法.

解法一、代数法

S=1/2(√3*sina+√6*sinb+√2*sinc) (a,b,c为∠APC,∠BPC和∠APB)

显然a+b+c=2π 所以由三角公式：cosa=cos(2π-a)=cos(b+c)=cosbcosc-sinbsinc （**）

由sinb^2+cosb^2=1 可以将上式转化成只有cos项的式子

由余弦定理：

cosb=1/2√6*(1+2√3cosa)

cosc=1/2√2*(2√3cosa-1)

代入**式可以得到只关于cosa的方程,解得cosa=-√3/6即可得到sina,sinb,sinc

然后将上述各值代入面积计算方程就可求得面积为S=5√3/4

该方法的化简做法是直接求边长平方值,在此不在赘述.（需要高阶方程换元计算解题技巧）

解法二、几何法

将B作为原点,BC为X轴,则

A(k/2,√3/2k) B(0,0) C(k,0) P(x,y)

采用距离公式：

x^2+y^2=1 （1）

(x-k)^2+y^2=2 （2）

(x-k/2)^2+(y-√3/2k)^2=3 （3）

通过简化计算,把（1）,（2）代入（3）式可得：

k^4-6k^2+5=0

所以k^2=1或者5

因为1+1

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