△abc中,分别以ab,ac为边向外做△abd和△ace,连接de,点m,n,f,g分别是bc,ce,ed,db上的中点
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四边形mnfg是菱形

证明:连接dc,be,设dc于be相交于o,dc与mn相交于p

因为三角形abd是等边三角形

所以ad=ab

角dab=60度

因为三角形ace是等边三角形

所以ae=ac

角eac=60度

因为角dac=角dab+角bac=60+角bac

角bae=角bac+角eac=60+角bac

所以三角形dac和三角形bae全等(SAS)

所以dc=be

角oda=角oba

所以a,d,b,o四点共圆

所以角dab=角dob

所以角dob=60度

因为角dob+角doe=180度

所以角doe=120度

因为角doe=角boc

所以角boc=120度

因为m,n,f,g分别是bc ,ce ,ed ,db上的中点

所以gm ,mn ,nf ,fg分别是三角形dbc,三角形bce,三角形dce,和三角形bde的中位线

所以gm=1/2dc

gm平行dc

所以角gmn+角mpo=180度

mn=1/2be

mn平行be

所以角boc+角mpo=180度

nf=1/2dc

fg=1/2be

所以gm=mn=nf=fg

所以四边形mnfg是菱形

角mpo=180-120=60度

角gmn=180-60=120度

所以角gmn=120度