如图,分别以Rt△ABC的斜边AB,直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,DE,AB相交于点G,若∠BAC=30 0,下列结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是( ▲ )
A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
C
∵ACE是等边三角形∴∠EAC=60°,AE="AC" ∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°,AB="2BC" ∵F为AB的中点∴AB=2AF∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA ∴∠AEF=∠BAC=30°∴EF⊥AC.故①是正确的;
∵△ABC≌△EFA ∴EF="AB" ∵AB="AD" ∴AD="EF" 同理可证AE="DF"
∴ADFE是平行四边形∵F为AB的中点∴△AFD是直角三角形,AD≠DF.
因此四边形ADFE不是菱形.故②不正确;
∵ADFE是平行四边形∴AG=
AF=
AB∵AD=AB∴AD=4AG.故③是正确的;
∵AD=BD,BF=AF,∴∠DFB=90°,∠BDF=30°,∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°,
∴∠DFB=∠EAF,∵EF⊥AC,∴∠AEF=30°,∴∠BDF=∠AEF,
∴△DBF≌△EFA(AAS).故④是正确的.故选C.
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