已知函数f（x）=|2x-m|和 g（x）=-x2+c（m，c为常数），且对任意x∈R，都有f（x+3）=f（
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解题思路：（Ⅰ）根据f（x+3）=f（-x），得到函数关于直线x=[3/2]对称，即可求m的值；
（Ⅱ）由条件得到函数F（x）为偶函数，然后将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可求出c的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=|2x-m|=2|x-[m/2]|，
对任意x∈R都有；f（x+3）=f（-x），
∴f（x）关于直线x=[3/2]对称，
即[m/2]=[3/2]，解得m=3．
∴f（x）=|2x-3|
（Ⅱ）∵F（x）满足对任意x∈R，都有F（x）=F（-x），
∴F（x）是偶函数，
0≤x≤[3/2]时：F（x）=f（x）=|2x-3|=3-2x
[3/2]≤x≤3时：F（x）=f（x）=|2x-3|=2x-3
∵F（x）是偶函数
∴-[3/2]≤x≤0时，0≤-x≤[3/2]，F（-x）=3+2x=F（x）
∴-1≤x≤0时：F（x）=3+2x
∴在区间[-1，3]上F（x）最大值为3，最小值为0
若存在x1和x2属于[-1，3]，恒有|F（x1）-g（x2）|＜1成立．
即是说明：g（x）在区间[-1，3]上的最大值或者最小值与F（x）的最大值或者最小值之间的差值在1之内，
g（x）=-x2+c在[-1，3]之间的最大值为c，最小值为x=3时取得为c-9，
∴|0-c|＜1或者|3-（c-9）|＜1或者|3-c|＜1或者|0-（c-9）|＜1
解得：-1＜c＜1或者11＜c＜13或者2＜c＜4或者8＜c＜10
∴c的取值范围为（-1，13）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和对称性的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
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