题目是这样的,求一个三重积分,被积函数为x^2+y^2,区域为
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切片法：x² + y² = [√(2z)]²
∫∫∫(S) (x² + y²) dV
= ∫(2→8) dz ∫∫Dz (x² + y²) dxdy
= ∫(2→8) dz • [∫(0→2π) dθ ∫(0→√(2z)) r³ dr]
= ∫(2→8) 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→√(2z)) dz
= ∫(2→8) π/2 • 4z² dz
= 2π • (1/3)[ z³ ] |(2→8)
= (2π/3) • (512 - 8)
= 336π
或
S₁：{ x² + y² ≤ 2z、z = 8
S₂：{ x² + y² ≤ 2z、z = 2
∫∫∫(S) (x² + y²) dV
= ∫∫∫(S₁) (x² + y²) dV - ∫∫∫(S₂) (x² + y²) dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→4) r dr ∫(r²/2→8) r² dz - ∫(0→2π) dθ ∫(0→2) r dr ∫(r²/2→2) r² dz
= 2π∫(0→4) r³ • (8 - r²/2) dr - 2π∫(0→2) r³ • (2 - r²/2) dr
= π∫(0→4) (16r³ - r⁵) dr - π∫(0→2) (4r³ - r⁵) dr
= π • [ 4r⁴ - r⁶/6 ] |(0→4) - π • [ r⁴ - r⁶/6 ] |(0→2)
= π • (1024 - 2048/3) - π • (16 - 32/3)
= 336π
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