一阶线性微分方程通解dy/dx+P（x）y=Q（x）的通解.我教科书上的解答过程看不太懂.不明白为什么可以先求解对应的齐

一阶线性微分方程通解

dy/dx+P（x）y=Q（x）的通解.我教科书上的解答过程看不太懂.不明白为什么可以先求解对应的齐次方程dy/dx=-P（x）y的通解.

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dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解.

此方程在现在这个状态,无法分离变量；分离不了变量,就无法求解.

最常用的方法,是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解,然后把积分常数换成x的函数u(x),

再将带u的通解y和y'代入原式,即可求出函数u(x)；最后即可求得原方程的通解.这个过程已经程式化,很容易掌握.不存在“为什么”的问题,只是一个方法.

由dy/dx+P(x)y=0,得dy/y=-P(x)dx,积分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁,故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；

将C₁换成x的某个函数u,得y=ue^[-∫P(x)dx].(1)

对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x).(2)

将(1)和(2)代入原方程,得：

(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)

化简得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)

这就可以分离变量了：

du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx

积分就看求出u(x),再代入(1)式即得原方程的通解.

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