已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（ ）
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解题思路：①两个函数是等价无穷小，则当x→0时极限为1②利用带佩亚诺型的泰勒展开式将正弦函数在x=0处展开
∵
正弦函数在x=0处的带佩亚诺型的泰勒展开式：
sinx＝
n
k＝1(−1)k−1
x2k−1
(2k−1)!+o(x2k−1)
∴
函数在x=0处的三阶泰勒展开式分别为：
sinx＝x−
x3
3!+o(x3)
sin(3x)＝3x−
(3x)3
3!+o(x3)
∴
f（x）=3sinx-sin（3x）
=3[x−
x3
3!+o(x3)]−[3x−
(3x)3
3!+o(x3)]
=3x−
x3
2−3x+
9x3
2+o(x3)
=4x3+o（x3）
∴
lim
x→0
3sinx−sin(3x)
cxk＝
lim
x→0
4x3+o(x3)
cxk=1
对于分子，分母均为多项式且x→0来讲，当极限为非零常数时，分子和分母的最高幂次相等
∴k=3
∴c=4
故选：C
点评：
本题考点： 等价无穷小代换定理及其应用．
考点点评： 本题利用带佩亚诺型的麦克劳林公式对正弦函数进行展开，在变量变为3x时要注意整体的替换．若题中指出两个函数为等价无穷小即意味着在x趋于0时两个函数比的极限为1，特别注意是x趋向于0，而不是趋向于其他值或无穷
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