已知中心在原点的双曲线C的一个焦点F1（-3,0）,一条渐近线的方程是（√5)x-2y=0.
2个回答
1,因为中心在原点的双曲线C的一个焦点F1（-3,0）,
所以可设双曲线C的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1,
且a^2+b^2=9,
又一条渐近线的方程是（√5)x-2y=0,即y=√5/2 *x,
所以 b/a=√5/2,b^2 / a^2=5/4 ,
所以 a^2=5,b^2=4.
故双曲线C的方程为：x^2/5-y^2/4=1.
2,设直线L的方程为：y=kx+b,
直线L与双曲线C相交与两个不同的点M,N的坐标为M（x1,y1）,N（x2,y2）.
将y=kx+b代入x^2/5-y^2/4=1,化简得：
(5k^2-4)*x^2+(10kb)*x+(5b^2+20)=0,
所以（x1+x2）=-10kb/(5k^2-4),
（y1+y2）=k（x1+x2）+2b=-8b/(5k^2-4),
所以线段MN 的中点坐标为 [ -5kb/(5k^2-4),-4b/(5k^2-4）
所以线段MN的垂直平分线的方程为：y=-1/k*[x+5kb/(5k^2-4)]+4b/(5k^2-4).
这条直线在两坐标轴上的截距的积为 |k|*b^2/(5k^2-4)^2.
这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为81/2,
所以 |k|*b^2/(5k^2-4)^2=81.
下面你自己去求.
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