已知f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数 且f(3)=1 当x＞0,y＞0时 有f(x+1)+f(
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这个问题我纠结了很久该怎么跟你说,毕竟,我的回答太容易被误解为错了,我可是要采纳率的!然而出了这么多错解,看不下去了,我还是要用小号来跟你说.
这是一道柯西方程题(柯西方程：f(x)+f(y)=f(x+y)）,原题没有给出该函数在分段上的连续性或有界性,单调性之类的条件,所以这个函数的单调性不确定!以下是我的过程：
令y=1/x,得到f(x＋1)=-f(1/x 1)
令n为正整数,f(x^n＋1)=f(x^(n-1)) f(x＋1)=…=nf(x＋1)
同理可得1/n f(x＋1)=f(x^(1/n)＋1)
由以上三条可以得出对于有理数a,有af(x＋1)=f(x^a＋1)
但是题中只给出了x=2的情况!所以对于3=2^(log2(3))等类似情况是不能表示的!
因此我可以轻松举出与楼上不同的反例.
当x=2的有理数幂＋1时有f(x)=ln(x-1)/ln2,f(-x)=…我省略了,楼主算得出,其他情况f(x)=无限大＋ln(x-1)/ln2,f(-x)=…这也是一个符合题意的情况,但它是断的,谈不上单调性!
请参见各种柯西方程题,你会发现本题缺失了一些条件以至于解柯西时最重要的逼极限,求连续性的一步无法做!
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