设f(x)＝alnx+12x+32x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
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解题思路：（Ⅰ） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
f(x)＝−lnx+
1
2x
+
3
2
x+1
（x＞0），
f′(x)＝
−1
x
−
1
2
x
2
+
3
2
=
(3x+1)(x−1)
2
x
2
，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．
（Ⅰ） 求导函数可得f′(x)＝
a
x−
1
2x2+
3
2
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）=0，∴a−
1
2+
3
2＝0，
∴a=-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)＝−lnx+
1
2x+
3
2x+1（x＞0）
f′(x)＝
−1
x−
1
2x2+
3
2=
(3x+1)(x−1)
2x2
令f′（x）=0，可得x=1或x=−
1
3（舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．
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