设
f(x)=alnx+
1
2x
+
3
2
x+1
,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
解题思路:(Ⅰ) 求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,可得f′(1)=0,从而可求a的值;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
f(x)=−lnx+
1
2x
+
3
2
x+1
(x>0),
f′(x)=
−1
x
−
1
2
x
2
+
3
2
=
(3x+1)(x−1)
2
x
2
,确定函数的单调性,即可求得函数f(x)的极值.
(Ⅰ) 求导函数可得f′(x)=
a
x−
1
2x2+
3
2
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
∴f′(1)=0,∴a−
1
2+
3
2=0,
∴a=-1;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,f(x)=−lnx+
1
2x+
3
2x+1(x>0)
f′(x)=
−1
x−
1
2x2+
3
2=
(3x+1)(x−1)
2x2
令f′(x)=0,可得x=1或x=−
1
3(舍去)
∵0<x<1时,f′(x)<0,函数递减;x>1时,f′(x)>0,函数递增
∴x=1时,函数f(x)取得极小值为3.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,函数的单调性与极值,正确求导是关键.
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