解题思路：（1）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（2）建立b与x1，x2的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（3）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a）．
由已知：f'（x）=ax2+（b-1）x+1
故x1，x2是方程f'（x）=0的两根
（1）由于x1＜2＜x2＜4故
f′ (2)＜0
f′ (4)＞0即
4a+2b−1＜0①
16a+4b−3＞0②由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3
（2）由韦达定理
x1+x2＝
1−b
a
x1x2＝
1
a＞0
故1-b=
x1+x2
x1x2＝
1
x1+
1
x2即b＝1−
1
x1−
1
x2
当0＜x1＜2时，则x1x2＝
1
a＞0得x2＞0
这时，由|x2-x1|=2得x2=x1+2
即b＝1−(
1
x1+
1
x1+2)＝1−
2(x1+1)
(x1+1)2−1＝1−
2
(x1+1)−
1
x1+1为增函数（也可用求导法来证），
故b＜1−(
1
2+
1
4)＝
1
4
当-2＜x1＜0时，有x1-x2=2，则b=1-(
1
x1+
1
x1−2)也为增函数
故这时，b＞1−(
1
−2+
1
−2−2)＝
7
4
综上，b的取值范围是(−∞，
1
4)∪(
7
4，+∞)
（3）∵a≥2，x2-x1=2故可设f'（x）=a（x-x1）（x-x2）
∴g（x）=|f'(x)+2(x−x2)|＝|a(x−x2)(x−x1+
2
a)|
∵x∈（x1，x2）∴x-x2＜0，x-x1＞0，x-x1+[2/a]＞0
∴g(x)＝a(x2−x)(x−x1+
2
a)≤a[
x2−x1+
2
a
2]2＝a+
1
a+2
当且仅当x2-x=x-x1+[a/2即x＝
x1+x2
2−
1
a＝x1+1−
1
a]等号成立．
∴h（a）=a+[1/a]+2a∈[2，+∞）．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 此题是个难题．本题属于函数与不等式的综合问题，利用导数的基本知识确定出相关的关系，列出相关的不等式进行综合转化．本题考查学生的转化与化归思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查导数的工具作用．
