设函数f（x）=x-1ex的定义域为（0，+∞）．

设函数f（x）=x-1ex的定义域为（0，+∞）．

（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；

（2）设函数

g(x)＝

1

f(x)

，如果x1≠x2，且g（x1）=g（x2），证明：x1+x2＞2．

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解题思路：（1）先求其导函数，找到其增减区间即可求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；

（2）先求出函数g（x）的增减区间，再利用题中要证的结论构造新函数F（x）=g（x）-g（2-x），求出新函数F（x）=g（x）-g（2-x）的增减区间，把二者相结合即可证明结论．

（1）f′(x)＝

xex−ex

x2，则x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．

所以，函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2分）

当m≥1时，函数f（x）在[m，m+1]上是增函数，

此时f(x)min＝f(m)＝

em

m；

当0＜m＜1时，函数f（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，

此时f（x）min=f（1）=e；（6分）

（2）证明：

考察函数g（x）=xe-x，g′（x）=（1-x）e-x

所以g（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．（结论1）

考察函数F（x）=g（x）-g（2-x），即F（x）=xe-x+（x-2）ex-2

于是F'（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x

当x＞1时，2x-2＞0，从而e2x-2-1＞0，又e-x＞0，所以F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．

又F（1）=e-1-e-1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即g（x）＞g（2-x）．（结论2）（9分）

若（x1-1）（x2-1）=0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾；

若（x1-1）（x2-1）＞0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾；（11分）

若（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1

由结论2可知，g（x2）＞g（2-x2），所以g（x1）=g（x2）＞g（2-x2）．

因为x2＞1，所以2-x2＜1，又由结论1可知函数g（x）在区间（-∞，1）内是增函数，

所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2．（15分）

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题的第一问主要考查利用导函数求函数在闭区间上的最值问题，比较基础，第二问就比较难，适合中上等学生来做．

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