(2007•咸安区模拟)设f(x)是定义域为R的奇函数,g(x)是定义域为R的恒大于零的函数,且当x>0时有f′(x)g
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解题思路:首先,因为g(x)是定义域为R的恒大于零的函数,所以f(x)>0式的解集等价于

f(x)

g(x)

>0的解集.由当x>0时有f′(x)g(x)<f(x)g′(x),可以证明

f(x)

g(x)

的单调性,从而使问题得解.

首先,因为g(x)是定义域为R的恒大于零的函数,所以f(x)>0式的解集等价于

f(x)

g(x)>0的解集.

下面我们重点研究

f(x)

g(x)的函数特性.因为当x>0,f'(x)g(x)<f(x)g'(x),所以当x>0,(

f(x)

g(x))/<0.也就是

f(x)

g(x),当x>0时,是递减的.

由f(1)=0得

f(1)

g(1)=0.所以有递减性质,(0,1)有

f(x)

g(x)>0.

由f(x)是奇函数,f(-1)=0,x<-1时,

f(x)

g(x)=−

f(−x)

g(x)>0 不等f(x)>0式的解集是(-∞,-1)∪(0,1),

故选C.

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 解答本题的关键是根据已知条件,结合奇函数的性质,找出函数的零点,并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间,然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论,这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现,分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化,是高中阶段必须要掌握的一种方法.

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