已知f（x）=ln（x+1）．（1）若 g(x)= 1 4 x 2 -x+f(x) ，求g（x）在[0，2]上的最大值与
1个回答

（1） g(x)=

1

4 x 2 -x+ln(x+1) ， g′(x)=

1

2 x-1+

1

x+1 =

x(x-1)

2(x+1)

∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增

∵g（0）=0，g（1）= -

3

4 +ln2 ，g（2）=-1+ln3

∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0

（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）

构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）=

1

x+1 -1=

-x

x+1

∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减

∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值

∴h（x）≤h（0）=0

∴f（x）-x≤0

∵x＞0，∴ f(

1

x )＜

1

x

构造函数φ（x）=f（x）-

x

1+x ，∴φ′（x）=

x

(x+1) 2

∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增

∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值

∴φ（x）≥φ（0）=0

∴f（x）-

x

1+x ≥0

∵x＞0，∴

1

1+x ＜f(

1

x )

∴

1

1+x ＜f(

1

x )＜

1

x

（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（

1

n ）

由（2）知：

1

1+n ＜f(

1

n )＜

1

n

∴

1

1+n ＜f(n)-f(n-1)＜

1

n

∴

1

1+1 ＜f(1)-f(0)＜1 ，

1

1+2 ＜f(2)-f(1)＜

1

2 ，

1

1+3 ＜f(3)-f(3-1)＜

1

3 ，…，

1

1+n ＜f(n)-f(n-1)＜

1

n

叠加可得：

1

2 +

1

3 +

1

4 +…+

1

n+1 ＜f(n)＜1+

1

2 +

1

3 +…+

1

n

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