【证法1】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

【证法2】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ,垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,

∴ ∠MPC = 90°,

∵ BM⊥PQ,

∴ ∠BMP = 90°,

∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

【证法3】（赵浩杰证明）

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

∴FI=a,

∴G,I,J在同一直线上,

∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

∠CJB = ∠CFD = 90°,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,

同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上,

所以a^2+b^2=c^2

【证法4】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

BF、CD.过C作CL⊥DE,

交AB于点M,交DE于点L.

∵ AF = AC,AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB的面积等于,

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半,

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证,矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

【证法5】欧几里得的证法

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.

在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2.把这两个结果相加,AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的