一节数学课,老师布置了一道课后练习题.如图,已知在Rt三角形ABC中,AB=BC,角ABC=90°,BO AC
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（1）证明：∵PB=PD,
∴∠2=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠1=45°,
∴∠1=∠C=45°,
∵∠3=∠PBC-∠1,∠4=∠2-∠C,
∴∠3=∠4,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
∠3＝∠4
∠BOP＝∠PED
BP＝PD
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4,
∵BP平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,
∴∠ABP=∠4,
在△ABP和△CPD中
∠A＝∠C
∠ABP＝∠4
PB＝PD
∴△ABP≌△CPD（AAS）,
∴AP=CD．
（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=
2
3
AP′．
理由是：设OP=PC=x,则AO=OC=2x=BO,
则AP=2x+x=3x,
由△OBP≌△EPD,则BO=PE
PE=2x,CE=2x-x=x,
∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,
∴DE=x,由勾股定理得：CD=
2
x,
即AP=3x,CD=
2
x,
∴CD′与AP′的数量关系是CD′=
2
3
AP′
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