如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
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证明:(Ⅰ)连接OP,OM.

因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.

于是∠OPA+∠OMA=180°.

由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形M的对角互补,

所以A,P,O,M四点共圆.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.

由(Ⅰ)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.

又∵A,P,O,M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°.