韦达定理(vieta's theorem）的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为x1和x2
则x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的.一般的,对一个n次方程∑aix^i=0
它的根记作x1,x2…,xn
我们有
∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…
Πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和,Π是求积.
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理.历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性.
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根.因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根.两端比较系数即得韦达定理.
韦达定理在方程论中有着广泛的应用.
韦达定理的证明
设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解.
根据求根公式,有
x_1=[-b + -sqrt (b^2-4ac)]/2a,
所以
x_1+x_2=[-b +(-) sqrt (b^2-4ac)]/2a+[-b - sqrt (b^2-4ac)]/2a=-b/a
峥嵘岁月稠 回答采纳率:40.5% 2008-09-03 12:07 检举
设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x=m和x=n,这就说明,ax^2+bx+c可以分解因式成a(x-m)(x-n)的形式,即ax^2+bx+c=a(x-m)(x-n)=ax^2-a(m+n)x+amn.
比较两边系数,可知,-a(m+n)=b,amn=c;
故m+n=-b/a,mn=c/a.
这就是韦达定理：一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数.
韦达定理常被用于,不求方程的根,而计算或推理出与方程的根密切相关的对称式求值中.
如：
已知a,b是方程x^2+1=7x,求(a^3-b^3)(a-b).
由已知条件,利用韦达定理可知,a+b=7,ab=1,那么,
(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)=[(a+b)^2-4ab][(a+b)^2-ab]
=(7^2-4)(7^2-1)=45*48=2160.
如果不计后果,按步就班地先求出两根,再代入求值,会因为运算量大而累个半死,还不一定有好结果--繁则易错!
