一道实数的题,设a,b都是正实数,且a≠√2b(1)证明√2必须在a/b和a+2b/a+b之间;(2)试说明这两个数中,
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(1)证明：
假设a＞√2b,因a、b为正实数,则a/b＞√2
则a＋b＞√2b＋b
（a＋b）/b＞（√2b＋b）/b
（a＋b）/b＞√2＋1
b/(a+b)＜1/（√2＋1）
b/(a+b)＜√2－1
b/(a+b)＋1＜√2－1＋1
（a＋2b）/(a+b)＜√2
所以（a＋2b）/(a+b)＜√2＜a/b
假设a＜√2b,则a/b＜√2
a＋b＜√2b＋b
（a＋b）/b＜（√2b＋b）/b
（a＋b）/b＜√2＋1
b/(a+b)＞1/（√2＋1）
b/(a+b)＞√2－1
b/(a+b)＋1＞√2－1＋1
a＋2b/(a+b)＞√2
所以a/b＜√2＜（a＋2b）/(a+b)
当a≠√2b ,无论a＞√2b,还是a＜√2b
√2都在a/b和（a+2b）/（a+b）之间,证明完毕
(2）说明
要说明a/b和（a+2b）/（a+b）两个数哪个更加接近√2,只需说明两个数与√2差的绝对值,绝对值小的更加接近
如果a＞√2b,则（a＋2b）/(a+b)＜√2＜a/b
设m为（a＋2b）/(a+b)与√2的差绝对值,则
m＝√2－（a＋2b）/(a+b)
设n为√2与a/b的差的绝对值,则n＝a/b－√2
m－n＝（a＋2b）/(a+b)－a/b
＝（2b^2-a^2)/(ab+b^2)
前面假设的是a＞√2b,所以a^2＞2b^2,又因为a、b为正实数
所以（2b^2-a^2)/(ab+b^2)＜0
m－n＜0,所以m＜n,也就是√2－（a＋2b）/(a+b)的绝对值小,所以（a＋2b）/(a+b)更接近√2.
同理a＜√2b时,也能证明（a＋2b）/(a+b)更接近√2.说明完毕
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