已知△ABC中,AB＝3,BC＝√7,AC＝2.若O为△ABC的内心,则向量AO乘以向量AC的值.注意是内心.因为垂心,
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①
若O为△ABC的内心,
△ABC中,AB＝3,BC＝√7,AC＝2.
根据余弦定理可得：cosA=(9+4-7)/12=1/2,A=60°.
三角形的面积=1/2*3*2*sin60°=3√3/2.
一般的,设三角形的三边分别是a,b,c,内切圆的半径是r,
则三角形的面积=1/2(a+b+c)*r.
所以1/2(3+2+√7)*r=3√3/2,r=(5√3-√21)/6.
又因∠OAC=1/2∠A=30°.
所以|AO|=2r=(5√3-√21)/3.
∴向量AO乘以向量AC=|AO|*|AC|*cos30°=5-√7.
②
若O为△ABC的重心,
延长AO交BC于M,则M 是中点,即AM是中线 ,
所以根据重心的性质可知：向量AO=(2/3)向量AM...(1)
向量AM=向量AB+向量BM
向量AM=向量AC+向量CM
=> 2*向量AM=向量AB+向量AC+(向量BM+向量CM)
=向量AB+向量AC+=0向量
=向量AB+向量AC
=>向量AM=(1/2)[向量AB+向量AC]
代入(1) =>向量AO=1/3(向量AB+向量AC)
∴向量AO乘以向量AC=1/3(向量AB+向量AC) 乘以向量AC
=1/3(AB*AC+AC²)
=1/3(|AB||AC|cosA+AC²)
=1/3(3*2*cos60°+4)
=7/3.
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