已知x+y=4，x2+y2=14，那么x7+y7=______．
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解题思路：通过x+y=4，x2+y2=14，利用完全平方式可求出xy的值．再运用立方差公式求出x3+y3的值，通过（x4+y4）（x3+y3）=x7+y7+x3y3（x+y）做变换x7+y7=（x4+y4）（x3+y3）-x3y3（x+y））=[（x2+y2）2-2x2y2]（x3+y3）-x3y3（x+y）．最后将x+y=4，x2+y2=14，xy=1代入变换后的式子，求出结果．
x+y=4，x2+y2=14，
∴xy=
1
2[(x+y)2−(x2+y2)]＝1，
∴x3+y3=（x+y）（x2+y2-xy）=4×（14-1）=52，
∵（x4+y4）（x3+y3）=x7+y7+x3y3（x+y），
∴x7+y7=（x4+y4）（x3+y3）-x3y3（x+y），
=[（x2+y2）2-2x2y2]（x3+y3）-x3y3（x+y），
=（142-2）×1×52-1×4，
=10084．
故答案为：10084．
点评：
本题考点： 因式分解的应用；代数式求值．
考点点评： 本题考查因式分解、完全平方式、立方和公式．解决本题的关键是将x4+y4、x2+y2运用完全平方式，x3+y3运用立方差公式分解．
