解题思路：（1）求导函数，利用f（x）在x=1时，有极值-1，建立方程，由此可求b、c的值；
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b2-c）x+y+1=0平行，从而f′（t）=c-b2，利用方程△＜0，可得结论；
（3）|f′（x）|=|
3(x+
b
3
)
2
+c−
b
2
3
|
，分类讨论：①若|-[b/3]|＞1，即b＞3或b＜-3时，M应为f′（-1）与f′（1）中最大的一个；②若-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-[b/3]）|；③若0＜b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-[b/3]）|，由此可得结论．
（1）求导函数，可得f′（x）=3x2+2bx+c
∵f（x）在x=1时，有极值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5；…（3分）
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b2-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t2+2bt+c，直线（b2-c）x+y+1=0的斜率为c-b2，
∴3t2+2bt+c=c-b2，
∴3t2+2bt+b2=0
∴△=4b2-12b2=-8b2，
又∵b≠0，∴△＜0．
从而3t2+2bt+b2=0无解，因此不存在t，使f′（t）=c-b2，
故f（x）图象不存在与直线（b2-c）x+y+1=0平行的切线．…（8分）
（3）∵|f′（x）|=|3(x+
b
3)2+c−
b2
3|，
①若|-[b/3]|＞1，即b＞3或b＜-3时，M应为f′（-1）与f′（1）中最大的一个，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|≥|f′（-1）-f′（1）|≥|4b|＞12
∴M＞6＞[3/2]…（10分）
②若-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-[b/3]）|≥|f′（-1）-f′（-[b/3]）|=|[1/3]（b-3）2|≥3，
∴M≥[3/2]…（12分）
③若0＜b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-[b/3]）|≥|f′（1）-f′（-[b/3]）|=|[1/3]（b+3）2|＞3，
∴M＞[3/2]
综上，M≥[3/2]…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，综合性强．
