有关z=f(x,y)是否可微的判断问题!
我知道有推论:若z=f(x,y)的偏导数在(a,b)点连续,则z=f(x,y)在(a,b)点可微.
1、若有题目,函数 z=f(x,y),判断在(0,0)处是否可微,能否这样做?
直接对x和y求偏导,得到两式,然后判断这两个式子在(0,0)是否连续,若都连续,则z=f(x,y)在(0,0)处是否可微.
2、请问是否要当z=f(x,y)对x和对y的偏导数都连续,z=f(x,y)才在(a,b)点可微?
老师不是这么做的,是求一个极限,那个极限我电脑上打不出,那个极限分子是 △z-ez/ex在(0,0)处值 - ez/ey 在(0,0)处值,分母是 根号下 △x 的平方 + △y 的平方 ,当△x——>0,△y——>0,时的极限,当极限为0,则全微分存在。难道只能这样做吗?用1中的不行吗?(以上,e 代表哪个倒过来的 e 的符号)
结论“偏导连续则可微”在做题的时候用的并不多,除非两个偏导数的形式很简单,因为二元函数的连续性并不像一元函数那么容易判定.何况我们只是讨论一个点处的可微性,无需求出偏导函数
判断函数F(x,y)在(x0,y0)处是否可微的步骤:
(1)先判断连续性,即讨论(x,y)→(x0,y0)时,F(x,y)的极限值是否等于函数值F(x0,y0).若不连续,则不可微;若连续,继续下一步
(2)求(x0,y0)处的偏导数.若偏导数至少有一个不存在,则不可微;若两个偏导数都存在,继续下一步
(3)说明△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y是ρ的高阶无穷小,即判断 [△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y ]/ρ 是否趋向于0,若是,则可微,否则不可微
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