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以O为原点,OB为x轴负半轴,OA为y轴正半轴建立坐标系
设狗跑动的轨迹方程为y=y(x)
轨迹上任意一点的切线方程是：Y-y=y'(X-x)
因为狗的跑动方向始终朝着兔,设t时刻兔子所在位置是(0,80t)
则该点在切线上,80t-y=y'(0-x)----(1)
设狗的速度是兔的k倍,则80kdt=根号(1+y'²)dx---(2)
(1)式对x求导得：80dt/dx-y'=y''(0-x)-y'
dt/dx=-xy''/80
与(2)式联立得：-kxy''=根号(1+y'²)
令z=y',-kxz'=根号(1+z²)
dz/根号(1+z²)=(1/k)dx/(-x)
ln[z+根号(1+z²)]=(-1/k)ln(-x)+lnC1
z+根号(1+z²)=C1/[(-x)^(1/k)]
因为开始追时狗的速度方向没x轴正向,即y'|x=-200 = 0
代入条件z|x=-200 = 0 得,C1=200^(1/k)
z+根号(1+z²)=200^(1/k)/[(-x)^(1/k)],取倒数
-z+根号(1+z²)=[(-x)^(1/k)]/[200^(1/k)]
相减：z=(1/2){200^(1/k)/[(-x)^(1/k)]-[(-x)^(1/k)]/[200^(1/k)]}
积分：y=(1/2){-200^(1/k)[k/(k-1)](-x)^[(k-1)/k]+200^(-1/k)[k/(k+1)](-x)^[(k+1)/k]}+C2
代入初始条件：x=-200,y=0
0=(1/2){[-200k/(k-1)]+[200k/(k+1)]}+C2
解得：C2=200k/(k²-1)
猎狗跑动的轨迹方程是：
y=(1/2){-200^(1/k)[k/(k-1)](-x)^[(k-1)/k]+200^(-1/k)[k/(k+1)](-x)^[(k+1)/k]}+200k/(k²-1)
当猎狗刚好在洞口追上兔子时,x=0,y=120
120=200k/(k²-1)
3k²-5k-3=0
k=(5+根号61)/6≈2.135
8×2.135=17.1
猎狗能追上兔子的最小速度是17.1米/秒
