由柯西不等式得
[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]
=[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]*(a+b+c)
=[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]*1/2*[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
>=1/2*[(a+b)/(a+b)+(b+c)/(b+c)+(c+a)/(c+a)]^2
=9/2
当且仅当 a+b=b+c=c+a即a=b=c=1/3时,上式取等号
所以,[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]的最小值是 9/2.
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