（Ⅰ）因为 a 1 +2 a 2 + 2 2 a 3 +…+ 2 n-1 a n =(n• 2 n - 2 n +1)b ，
所以 a 1 =( 2 1 - 2 1 +1)b ， a 1 +2 a 2 =(2• 2 2 - 2 2 +1)b ，
解得a 1=b，a 2=2b．…（3分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，由 a 1 +2 a 2 + 2 2 a 3 +…+ 2 n-1 a n =(n• 2 n - 2 n +1)b ，①
得 a 1 +2 a 2 + 2 2 a 3 +…+ 2 n-2 a n-1 =[(n-1)• 2 n-1 - 2 n-1 +1]b ，②
将①，②两式相减，得 2 n-1 a n =(n• 2 n - 2 n +1)b-[(n-1)• 2 n-1 - 2 n-1 +1]b ，
化简，得a n=nb，其中n≥2．…（5分）
因为a 1=b，所以a n=nb，其中n∈N *．…（6分）
因为
2 a n
2 a n-1 = 2 a n - a n-1 = 2 b (n≥2) 为常数，
所以数列 { 2 a n } 为等比数列．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），得 a 2 n = 2 n b ，…（9分）
所以
1
a 2 +
1
a 4 +
1
a 8 +…+
1
a 2 n =
1
2b +
1
4b +…+
1
2 n b =
1
b ×
1
2 (1-
1
2 n )
1-
1
2 =
1
b (1-
1
2 n ) ，…（11分）
又因为
1
a 1 =
1
b ，
所以不等式
1
a 2 +
1
a 4 +
1
a 8 +…+
1
a 2 n ＞
c
a 1 化简为
1
b (1-
1
2 n )＞
c
b ，
当b＞0时，考察不等式
1
b (1-
1
2 n )＞
c
b 的解，
由题意，知不等式 1-
1
2 n ＞c 的解集为{n|n≥3，n∈N *}，
因为函数 y=1-(
1
2 ) x 在R上单调递增，所以只要求 1-
1
2 3 ＞c 且 1-
1
2 2 ≤c 即可，
解得
3
4 ≤c＜
7
8 ； …（13分）
当b＜0时，考察不等式
1
b (1-
1
2 n )＞
c
b 的解，
由题意，要求不等式 1-
1
2 n ＜c 的解集为{n|n≥3，n∈N *}，
因为 1-
1
2 2 ＜1-
1
2 3 ，
所以如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
所以b＞0，
3
4 ≤c＜
7
8 ．…（14分）
