09 内江 中考数学题 最值问题

09 内江 中考数学题 最值问题

如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点．

求|PQ-QB|的值最大时，动点Q（1，n）的坐标。

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1个回答

由题意，设二次函数表达式为 y=a（x+1）（x-3）

在Rt⊿AOB中，tan∠BAC = OC/OA = t/1 = t

又 tan∠BAC=3

∴ t=3

故 C点坐标为 C（0,3）

把C点坐标（0,3）带入二次函数表达式得：a = -1

∵ P（2，m）是抛物线与直线的交点

∴ 把P点坐标带入抛物线方程得： m = 3

作直线BP，可求得其表达式为：y= -3x+9

设直线BP交抛物线对称轴于 M 点，则 M（1,6）

当 Q点不与 M点重合时，Q、B、P一定能构成三角形，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，此时 |PQ-QB|＜PB

当 Q点与 M点重合时，Q、B、P在一条直线上，此时，|PQ-QB| = PB。

综上所述，|PQ-QB|≤PB

故：当Q点与M点重合，即Q为（1,6）时，|PQ-QB|最大。

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