已知椭圆的中心在原点,焦点为F(0,-根号3),顶点为(0,2),设点A(1/2,1),过原点O的直线交于点B,C,求三
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椭圆的中心在原点

,焦点为F(0,-根号3),顶点为(0,2),

那么c=√3,a=2 ,b²=a²-c²=1

∴椭圆方程为y²/4+x²=1

点A(1/2,1),

设B(m,n),n²/4+m²=1

因为直线经过原点,

那么B,C关于原点对称,则C(-m,-n)

当m=0时,|BC|=4,S△=1/2*4*1/2=1

当m≠0时,直线BC方程为y=n/mx

即nx-my=0

点A(1/2,1)到BC的距离

d=|n/2-m|/√(m²+n²)

|BC|=2|OM|=2√(m²+n²)

∴S△=1/2|BC|d=|n/2-m|

S²=n²/4+m²-mn

=1-mn

∵1=m²+n²/4≥|mn|

∴|mn|≤1

∴-1≤-mn≤1

∴0≤1-mn≤2

∴S²≤2

那么S△≤√2

即三角形ABC面积的最大值为√2

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