今天数学竞赛了,数学周报竞赛有题好难,想了半小时.x平方+y平方=208〔x-y〕求所有正整数解
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2个回答

看来这道题难了不少人么～

首先x>y

假设x为奇数,x=2k+1,则x^2为奇数,而208（x-y）为偶数,所以y为奇数,记y=2j+1

有2×(2k^2+2k+2j^2+2j+1)=208×2(k-j)

（2k^2+2k+2j^2+2j+1)为奇数,208×2(k-j)/2为偶数,矛盾

所以x、y都是偶数

假设x=2^n×mA,y=2^n×mB,(A、B互质,A>B,m为奇数）

有2^2n×m^2×(A^2+B^2)=208×2^n×m(A-B)=2^(n+4)×13m(A-B)

假设A-B=C×2^P,(P>=0,C为奇数）易知B、C互质

有2^2n×m^2×(2B^2+2BC×2^P+C^2×2^2P)=2^(n+4)×13mC×2^P

P=0时

m^2×(2B^2+2BC+C^2)和13mC为奇数,所以

2^2n=2^(n+4),n=4

此时

m×(2B^2+2BC+C^2)=13C

由于13为质数,所以m为13或1

m=13时

C=2B^2+2BC+C^2>=C^2,1>=C矛盾

所以m=1

0=2B^2+2BC+C^2-13C

B=(-C±(26C-C^2）^(1/2))/2

由于B为整数,所以(26C-C^2）^(1/2)为完全平方数

记D^2=26C-C^2

当C有大于2的质因数Q时,D整除Q,则B也整除Q,B、C不互质,矛盾,所以C为1,B=2或B=-3,由于B>0,所以B=2带回x、y得到

x=48,y=32

P≠0时

2^（2n+1）×m^2×(B^2+BC×2^P+C^2×2^（2P-1）)=2^(n+4+P)×13mC

B为奇数时,同样有

n=3+P

B^2+BC×2^P+C^2×2^（2P-1）=13C

同样判断出C=1

即

B^2+B×2^P+2^（2P-1）=13,

有13>2^(2P-1),3>P

将P=1、2分别带入知仅当P=2时,B为整数,B=-5或B=1,由于B>0,所以排除B=-5,将B=1带回x、y知

x=160,y=32

P≠0,B为偶数时,则A可以整除2,与假设的A、B互质矛盾,所以B不是偶数

综上有

x=48,y=32

x=160,y=32

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