若函数f(x)＝xx2+2(a+2)x+3a，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是______．
1个回答

解题思路：可将

f(x)＝

x

x

2

+2(a+2)x+3a

，(x≥1)

转化为：

f(x)＝

1

x+

3a

x

+2(a+2)

(x≥1)

，

即求g(x)＝x+

3a

x

(x≥1)的最小值时满足的条件

．

∵f(x)＝

x

x2+2(a+2)x+3a＝

1

x+

3a

x+2(a+2)(x≥1)，∴若函数f(x)＝

x

x2+2(a+2)x+3a，(x≥1)能用均值定理求最大值时a满足的条件即为g(x)＝x+

3a

x(x≥1)应用均值定理取得最小值时满足的条件所求．

显然a＞0，由x+

3a

x≥2

3a，当且仅当x＝

3a

x，即x＝

3a时取“=”；∵x≥1∴

3a≥1，∴a≥

1

3．

故答案为：a≥

1

3．

点评：

本题考点： 基本不等式．

考点点评： 本题考查基本不等式，考查学生的分析与转化能力，属于中档题．

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