还是一道高数题,希望你能给予详细过程,
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本题是条件极值问题.

设长、宽、高分别为x,y,z,则 条件为 xyz-R^3=0,构造拉格朗日函数

S=xy+2xz+2yz+λ(xyz-R^3),

S'=0,y+2z+λyz=0 (1)

S'=0,x+2z+λxz=0 (2)

S'=0,2x+2y+λxy=0 (3)

S'=0,xyz-R^3=0 (4)

因系实际问题,x与y地位完全相同,必相等,联立(1)(2)(3)(4)解得

λ=-2^{5/3)/R,x=y=2^(1/3)R,z=2^(-2/3)R ,此时其表面积最小.

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