若 A 列满秩,则 r(AB) = r(B)
证明:只要证明 ABX=0 与 BX=0 同解即可.
一方面,显然BX=0的解是ABX=0的解.
另一方面,设X1是ABX=0的解,则ABX1=0.
所以 A(BX1)=0
因为 A 列满秩,所以Ax=0只有0解.
所以有 BX1=0.
即X1是BX=0的解.
因此有 r(AB)=r(B).
对应有:若A行满秩,则 r(BA)=r(B)
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