设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,A^2=-2A,则|B+E|=什么?tr (E+B)=什么?

设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,A^2=-2A,则|B+E|=什么?tr (E+B)=什么?

其中E是n阶单位矩阵

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1个回答

因为 A^2 = -2A

所以 A^2+2A = 0

所以 A 的特征值只能为 0 和 -2.

而B与A相似,所以B的特征值为0,-2,且 r(B)=r

所以 B 的特征值为 n-r 个0,r个-2 [ A,B可对角化?]

所以 B+E 的特征值为 n-r 个1,r个-1

所以 |B+E| = (-1)^r

tr(B) = n-r -r = n-2

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