高中数学 导数公式证明步骤4．y=logaxΔy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[
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4.你的
"Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x"
有笔误,应该是：对函数
y = log_a_x (= lnx/lna),
有
Δy = log_a_(x+Δx)-log_a_x = log_a_(1+Δx/x) = ln(1+Δx/x)/lna,
而
Δy/Δx = [ln(1+Δx/x)/lna]/Δx= (1/lna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x = (1/xlna)*ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)],
于是,
lim(Δx→0)[Δy/Δx]
= [1/(xlna)]*lim(Δx→0)ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]
= [1/(xlna)]*lne = 1/(xlna).
据此,对函数
y = e^ln(x^n) = e^(nlnx)
利用复合函数求导法,可得
y' = e^(nlnx)*(nlnx)' = (x^n)*(n/x) = nx^(n-1).
5.对 y = sinx,利用三角函数的和差化积公式
Δy = sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2),
Δy/Δx = 2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)]/Δx = cos(x+Δx/2)[sin(Δx/2)/(Δx/2)],
这样,
lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0)cos(x+Δx/2)*lim(Δx→0)[sin(Δx/2)/(Δx/2)] = cosx*1 = cosx.
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