一道关于圆的数学题直角三角形的斜边为4,内切圆的半径为根号3减1,则这个三角形的周长等于多少?6加二倍根号3是怎样求出来
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设另两个直角边为a,b

那么根据勾股定理有a²+b²=16

直角三角形的三个顶点与内切圆圆心相连,将直角三角形切成3个三角形,这3个三角形的底边为4,a,b,底边上的高都是√3 -1

直角三角形的面积=3个三角形的面积和

ab/2 = 4×(√3 -1)/2 + a×(√3 -1)/2 + b×(√3 -1)/2

ab = (4+a+b)(√3 -1)

那么

a²+b²+2ab

=(a+b)²

=16+2×(4+a+b)(√3 -1)

设t=a+b

有t²=16+2(√3 -1)(4+t)

t²=16+8√3-8+2(√3 -1)t

t²-2(√3 -1)t-8-8√3=0

t=-4(舍)或2√3+2

所以周长为2√3+2+4=6+2√3

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