一个高考数学题已知点F（0，1），点P在x轴上运动，点M在y轴上，N为动点，且满足向量PM*PF=0，向量PN+PM=0
2个回答
1.设N(x,y),向量PN+PM=0,所以P为线段MN中点，
已知点P在x轴上运动，点M在y轴上，所以M(0,-y),P(x/2,0)；
已知F(0,1),所以向量PM的坐标为(-x/2,-y),向量PF的坐标为(-x/2,1)，
已知向量PM,PF满足PM*PF=0，即(-x/2)²+(-y)*1=0,
所以动点N的轨迹C的方程为 x²=4y，
是一条顶点在原点，开口向上的抛物线，焦参数p=2，焦点为F(0,1),准线y=-1
2.Q为准线上一点，所以向抛物线所引两条切线互相垂直，即AQ垂直于BQ
附：关于抛物线准线上一点向抛物线所引两条切线互相垂直的证明：
不妨设抛物线为x²=2py(p>0),则准线为y=-p/2，其上任意一点设为(q,-p/2),
过此点的直线设为y+p/2=k(x-q),与抛物线方程联立得：
x²-2pkx+2p(p/2+kq)=0,Δ=(-2pk)²-4*2p(p/2+kq),令其为零得：
4p²k²-8pqk-4p²=0,由韦达定理，k1*k2=-4p²/4p²=-1
所以两条切线互相垂直。
相关问题
