已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上

的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：AD=DB；

（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；

（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？

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解题思路：（1）求出∠CAB、∠DAB，推出∠DAB=∠B即可；

（2）求出AE=6-x，AF=

1

2

AE＝

1

2

(6−x)

，根据勾股定理求出AB，即可求出答案；

（3）求出DE=2x，求出AE=DE=6-x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案．

（1）证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

又∵AD平分∠CAB，

∴∠DAB=∠DAC=[1/2]∠CAB=30°，

∴∠DAB=∠B，

∴AD=DB．

（2）在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，

∴∠AEF=30°，

∴AE=AC-EC=6-x，AF=[1/2AE＝

1

2(6−x)，

在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，

∴AB=12，

∴BF=AB-AF=12-

1

2(6−x)＝9+

1

2]x，

∴y=9+[1/2]x，

答：y关于x的函数解析式是y=9+[1/2]x（0＜x＜6）．

（3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°，

∴∠EDC=30°，ED=2x，

∵∠C=90°，∠DAC=30°，

∴∠ADC=60°，

∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE，

∴ED=AE=6-x．

∴有2x=6-x，得x=2，

此时，y=9+[1/2]×2=10，

答：BF的长为10．

点评：

本题考点： 含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的角平分线性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

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