已知f(1)=2,f(n+1)=f(n)-f(n) - 已解决

已知f(1)=2,f(n+1)=f(n)-f(n)+1,其中n属于正整数集.求证：1/f(1)+1/f(2)+…+1/f

已知f(1)=2,f(n+1)=f(n)-f(n)+1,其中n属于正整数集.求证：1/f(1)+1/f(2)+…+1/f(n)

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由已知f(n+1)=[f(n)]^2-f(n)+1,知

f(n+1)-1=f(n)[f(n)-1].

又f(1)=2,知f(n)是增函数,且

1/[f(n+1)-1]=1/[f(n)(f(n)-1)]=1/[f(n-1)-1]-1/f(n).

∴1/f(n)=1/[f(n)-1]-1/[f(n+1)-1].

将n=1,2,3,...,n分别代入上式并相加,得

∑[1/f(k)]=1/[f(1)-1]-1/[f(n+1)-1]

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