一道线性代数选择题,概念帝看一下

一道线性代数选择题,概念帝看一下

A,如果矩阵AB＝E,那么A可逆,且A的逆＝B；

B,如果n阶方阵A,B均可逆,那么A＋B必可逆；

C,如果n阶矩阵A,B均不可逆,那么A＋B必不可逆；

D,如果n阶矩阵A,B均不可逆,那么AB必不可逆；

谁能说一下,那个对?其他错误的原因,正确的原因?

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1个回答

选项A错误,对于逆矩阵而言,前提是原矩阵必须为方阵,本身不是方阵的矩阵,谈不上逆矩阵.

选项B错误,请看反例：

设矩阵A为：矩阵B为：矩阵A+B为：

1 0 -1 0 0 0

0 1 0 -1 0 0

可见方阵A,B均可逆,但A＋B不可逆.

选项C错误,请看反例：

设矩阵A为：矩阵B为：矩阵A+B为：

1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 1

可见矩阵A,B均不可逆,但A＋B可逆.

选型D正确,下面给予证明：

∵n阶矩阵A,B均不可逆

∴秩r(A)＜n,r(B)＜n

∴r(AB)≤min[r(A),r(B)]＜n

∴矩阵AB不可逆.

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